Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 4х-5=8
- Уравнение -2x+12=0
-
Уравнение 3x-17=8x+18
- Уравнение 5x-4(x+12)=34
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 12*x+13*y=1
- 2*x+3*y=12
- 3*x+18*y=-9
- 5*x+2*y=-10
-
Идентичные выражения
- z^ шесть + четыре *z^ три + шестнадцать = ноль
- z в степени 6 плюс 4 умножить на z в кубе плюс 16 равно 0
- z в степени шесть плюс четыре умножить на z в степени три плюс шестнадцать равно ноль
- z6+4*z3+16=0
- z⁶+4*z³+16=0
- z в степени 6+4*z в степени 3+16=0
- z^6+4z^3+16=0
- z6+4z3+16=0
- z^6+4*z^3+16=O
-
Похожие выражения
- z^6+4*z^3-16=0
- z^6-4*z^3+16=0
z^6+4*z^3+16=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:
$$z^{6} + 4 z^{3} + 16 = 0$$
Сделаем замену
$$v = z^{3}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} + 4 v + 16 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = 16$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 16 + 4^{2} = -48$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = -2 + 2 \sqrt{3} i$$
Упростить
$$v_{2} = -2 - 2 \sqrt{3} i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = z^{3}$$
то
$$z_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
тогда:
$$z_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{-2 + 2 \sqrt{3} i}$$
$$z_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{-2 - 2 \sqrt{3} i}$$
$$z^{6} + 4 z^{3} + 16 = 0$$
Сделаем замену
$$v = z^{3}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} + 4 v + 16 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = 16$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 16 + 4^{2} = -48$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = -2 + 2 \sqrt{3} i$$
Упростить
$$v_{2} = -2 - 2 \sqrt{3} i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = z^{3}$$
то
$$z_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
тогда:
$$z_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{-2 + 2 \sqrt{3} i}$$
$$z_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{-2 - 2 \sqrt{3} i}$$
Быстрый ответ
[src]
2/3 /pi\ 2/3 /pi\
z_1 = 2 *sin|--| + I*2 *cos|--|
\18/ \18/
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
2/3 /pi\ 2/3 /pi\
z_2 = 2 *sin|--| - I*2 *cos|--|
\18/ \18/
$$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
2/3 /pi\ 2/3 /pi\
z_3 = - 2 *cos|--| + I*2 *sin|--|
\9 / \9 /
$$z_{3} = - 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
2/3 /pi\ 2/3 /pi\
z_4 = - 2 *cos|--| - I*2 *sin|--|
\9 / \9 /
$$z_{4} = - 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\
z_5 = 2 *cos|----| - I*2 *sin|----|
\ 9 / \ 9 /
$$z_{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\
z_6 = 2 *cos|----| + I*2 *sin|----|
\ 9 / \ 9 /
$$z_{6} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\
2 *sin|--| + I*2 *cos|--| + 2 *sin|--| - I*2 *cos|--| + - 2 *cos|--| + I*2 *sin|--| + - 2 *cos|--| - I*2 *sin|--| + 2 *cos|----| - I*2 *sin|----| + 2 *cos|----| + I*2 *sin|----|
\18/ \18/ \18/ \18/ \9 / \9 / \9 / \9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 /
$$\left(2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(- 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(- 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$
=
2/3 /pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /pi\
- 2*2 *cos|--| + 2*2 *cos|----| + 2*2 *sin|--|
\9 / \ 9 / \18/
$$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
произведение
2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\
2 *sin|--| + I*2 *cos|--| * 2 *sin|--| - I*2 *cos|--| * - 2 *cos|--| + I*2 *sin|--| * - 2 *cos|--| - I*2 *sin|--| * 2 *cos|----| - I*2 *sin|----| * 2 *cos|----| + I*2 *sin|----|
\18/ \18/ \18/ \18/ \9 / \9 / \9 / \9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 /
$$\left(2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) * \left(2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) * \left(- 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(- 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) * \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$
=
4/pi\ 6/pi\ 6/pi\ 2/pi\
-48 - 192*sin |--| + 64*cos |--| + 64*sin |--| + 192*sin |--|
\9 / \9 / \9 / \9 /
$$-48 - 192 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 64 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 192 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 64 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Численный ответ
[src]
z1 = 1.21601975486146 - 1.02036172780854*i
z2 = 1.21601975486146 + 1.02036172780854*i
z3 = 0.275649299900846 - 1.56328486311802*i
z4 = -1.49166905476231 - 0.542923135309481*i
z5 = -1.49166905476231 + 0.542923135309481*i
z6 = 0.275649299900846 + 1.56328486311802*i
z6 = 0.275649299900846 + 1.56328486311802*i
График