Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение sin(2*x-pi/6)=0
-
Уравнение z^4+16=0
-
Уравнение 2cos^2x-cosx-3=0
- Уравнение x^2+x-90=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -4*x-3*y=-5
- 3*x-9*y=18
- -3*x-2*y=12
- -7*x+2*y=-9
-
Идентичные выражения
- z^ четыре + шестнадцать = ноль
- z в степени 4 плюс 16 равно 0
- z в степени четыре плюс шестнадцать равно ноль
- z4+16=0
- z⁴+16=0
- z^4+16=O
-
Похожие выражения
- z^4-16=0
z^4+16=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{4} + 16 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{4} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$w_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z^{4} + 16 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{4} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$w_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
Быстрый ответ
[src]
___ ___ z_1 = - \/ 2 - I*\/ 2
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
___ ___ z_2 = - \/ 2 + I*\/ 2
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
___ ___ z_3 = \/ 2 - I*\/ 2
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
___ ___ z_4 = \/ 2 + I*\/ 2
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ - \/ 2 - I*\/ 2 + - \/ 2 + I*\/ 2 + \/ 2 - I*\/ 2 + \/ 2 + I*\/ 2
$$\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) + \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ - \/ 2 - I*\/ 2 * - \/ 2 + I*\/ 2 * \/ 2 - I*\/ 2 * \/ 2 + I*\/ 2
$$\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) * \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) * \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) * \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$
=
16
$$16$$
Численный ответ
[src]
z1 = -1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
z2 = -1.4142135623731 - 1.4142135623731*i
z3 = 1.4142135623731 - 1.4142135623731*i
z4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
z4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
График