Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение (x+7)(x-1)=0
- Уравнение (x-28)*16=1632
- Уравнение x-9,21=-4,3
- Уравнение -x=-(-24)
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -2*x+4*y=-5
- -4*x+3*y=16
- -16*x-3*y=1
- 4*x+3*y=-6
-
Идентичные выражения
- y^ четыре +y= ноль
- y в степени 4 плюс y равно 0
- y в степени четыре плюс y равно ноль
- y4+y=0
- y⁴+y=0
- y^4+y=O
-
Похожие выражения
- y^(4)+y^(3)-21y^(2)-y^(1)+20y=0
- y^4-y=0
y^4+y=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$y^{4} + y = 0$$
Очевидно:
далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{3}} = -1$$
Т.к. степень в уравнении равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1 y + 0\right)^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-1}}$$
или
$$y = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: y = -(-1)^(2/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда уравнение будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y^{4} + y = 0$$
Очевидно:
y0 = 0
далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{3}} = -1$$
Т.к. степень в уравнении равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1 y + 0\right)^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-1}}$$
или
$$y = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
y = 1^2/3
Получим ответ: y = -(-1)^(2/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда уравнение будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$
Тогда, окончательный ответ:
y0 = 0
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 + 0 + - - ------- + - + -------
2 2 2 2
$$\left(-1\right) + \left(0\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 * 0 * - - ------- * - + -------
2 2 2 2
$$\left(-1\right) * \left(0\right) * \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
Быстрый ответ
[src]
y_1 = -1
$$y_{1} = -1$$
y_2 = 0
$$y_{2} = 0$$
___
1 I*\/ 3
y_3 = - - -------
2 2
$$y_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
y_4 = - + -------
2 2
$$y_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
y1 = 0.5 - 0.866025403784439*i
y2 = -1.0
y3 = 0.0
y4 = 0.5 + 0.866025403784439*i
y4 = 0.5 + 0.866025403784439*i
График