Господин Экзамен

Другие калькуляторы


x^3+18=0

x^3+18=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
 3         
x  + 18 = 0
$$x^{3} + 18 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 18 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-18}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-18}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -18^1/3

Получим ответ: x = (-18)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -18$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -18$$
где
$$r = \sqrt[3]{18}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 18$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 18$$
График
Быстрый ответ [src]
       3 ____
x_1 = -\/ 18 
$$x_{1} = - \sqrt[3]{18}$$
      3 ____       3 ___ 6 ___
      \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3 
x_2 = ------ + ---------------
        2             2       
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
      3 ____       3 ___ 6 ___
      \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3 
x_3 = ------ - ---------------
        2             2       
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
          3 ____       3 ___ 6 ___   3 ____       3 ___ 6 ___
 3 ____   \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3    \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3 
-\/ 18  + ------ + --------------- + ------ - ---------------
            2             2            2             2       
$$\left(- \sqrt[3]{18}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
          3 ____       3 ___ 6 ___   3 ____       3 ___ 6 ___
 3 ____   \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3    \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3 
-\/ 18  * ------ + --------------- * ------ - ---------------
            2             2            2             2       
$$\left(- \sqrt[3]{18}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$
=
-18
$$-18$$
Численный ответ [src]
x1 = 1.31037069710445 - 2.26962862413435*i
x2 = -2.6207413942089
x3 = 1.31037069710445 + 2.26962862413435*i
x3 = 1.31037069710445 + 2.26962862413435*i
График
x^3+18=0 уравнение