Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^3+18=0
-
Уравнение sin^2x-sinx=0
-
Уравнение x^3=4
-
Уравнение x^2=24
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
-
Идентичные выражения
- x^ три + восемнадцать = ноль
- x в кубе плюс 18 равно 0
- x в степени три плюс восемнадцать равно ноль
- x3+18=0
- x³+18=0
- x в степени 3+18=0
- x^3+18=O
-
Похожие выражения
- x^3-18=0
x^3+18=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 18 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-18}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-18}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = (-18)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -18$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -18$$
где
$$r = \sqrt[3]{18}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x^{3} + 18 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-18}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-18}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -18^1/3
Получим ответ: x = (-18)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -18$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -18$$
где
$$r = \sqrt[3]{18}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 18$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 18$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 18$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 18$$
Быстрый ответ
[src]
3 ____ x_1 = -\/ 18
$$x_{1} = - \sqrt[3]{18}$$
3 ____ 3 ___ 6 ___
\/ 18 3*I*\/ 2 *\/ 3
x_2 = ------ + ---------------
2 2
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
3 ____ 3 ___ 6 ___
\/ 18 3*I*\/ 2 *\/ 3
x_3 = ------ - ---------------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ____ 3 ___ 6 ___ 3 ____ 3 ___ 6 ___
3 ____ \/ 18 3*I*\/ 2 *\/ 3 \/ 18 3*I*\/ 2 *\/ 3
-\/ 18 + ------ + --------------- + ------ - ---------------
2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[3]{18}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ____ 3 ___ 6 ___ 3 ____ 3 ___ 6 ___
3 ____ \/ 18 3*I*\/ 2 *\/ 3 \/ 18 3*I*\/ 2 *\/ 3
-\/ 18 * ------ + --------------- * ------ - ---------------
2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[3]{18}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$
=
-18
$$-18$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.31037069710445 - 2.26962862413435*i
x2 = -2.6207413942089
x3 = 1.31037069710445 + 2.26962862413435*i
x3 = 1.31037069710445 + 2.26962862413435*i
График