Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение y-x=3
-
Уравнение exp(x)=0
- Уравнение z^3=sqrt(3)-i
-
Уравнение 7*x^2-21x=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- 4*x+16*y=12
- -7*x+5*y=11
- Разложить многочлен на множители:
- x^3+125
-
Идентичные выражения
- x^ три + сто двадцать пять = ноль
- x в кубе плюс 125 равно 0
- x в степени три плюс сто двадцать пять равно ноль
- x3+125=0
- x³+125=0
- x в степени 3+125=0
- x^3+125=O
-
Похожие выражения
- x^3-125=0
x^3+125=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 125 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-125}$$
или
$$x = 5 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 5*(-1)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{3} + 125 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-125}$$
или
$$x = 5 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -5*1^1/3
Получим ответ: x = 5*(-1)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 125$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 125$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 125$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 125$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -5
$$x_{1} = -5$$
___
5 5*I*\/ 3
x_2 = - - ---------
2 2
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
___
5 5*I*\/ 3
x_3 = - + ---------
2 2
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
5 5*I*\/ 3 5 5*I*\/ 3
-5 + - - --------- + - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-5\right) + \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
5 5*I*\/ 3 5 5*I*\/ 3
-5 * - - --------- * - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-5\right) * \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-125
$$-125$$
Численный ответ
[src]
x1 = 2.5 + 4.33012701892219*i
x2 = 2.5 - 4.33012701892219*i
x3 = -5.0
x3 = -5.0