Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^2+2*x=3
-
Уравнение x+27=24
-
Уравнение 2x^2+7x-4=0
-
Уравнение 34+x=164
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -7*x+2*y=-9
- 2*x+9*y=13
- -4*x-2*y=-8
- 3*x-2*y=8
- Разложить многочлен на множители:
- x^3+27
- График функции y =:
-
x^3+27
-
Идентичные выражения
- x^ три + двадцать семь = ноль
- x в кубе плюс 27 равно 0
- x в степени три плюс двадцать семь равно ноль
- x3+27=0
- x³+27=0
- x в степени 3+27=0
- x^3+27=O
-
Похожие выражения
- x^3-27=0
x^3+27=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 27 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
или
$$x = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{3} + 27 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
или
$$x = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -3*1^1/3
Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 27$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 27$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -3
$$x_{1} = -3$$
___
3 3*I*\/ 3
x_2 = - - ---------
2 2
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
___
3 3*I*\/ 3
x_3 = - + ---------
2 2
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
-3 + - - --------- + - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-3\right) + \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
-3 * - - --------- * - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-3\right) * \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-27
$$-27$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.5 + 2.59807621135332*i
x2 = 1.5 - 2.59807621135332*i
x3 = -3.0
x3 = -3.0
График