x^4=(4x-5)^2 уравнение

Дано уравнение:
$$x^{4} = \left(4 x - 5\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 1\right) \left(x + 5\right) \left(x^{2} - 4 x + 5\right) = 0$$
Т.к. правая часть уравнения равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части уравнения равен нулю.
Получим уравнения
$$x - 1 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$x^{2} - 4 x + 5 = 0$$
решаем получившиеся уравнения:
1.
$$x - 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x_1 = 1
2.
$$x + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x_2 = -5
3.
$$x^{2} - 4 x + 5 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 5$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 5 + \left(-4\right)^{2} = -4$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$x_3 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_4 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{3} = 2 + i$$
Упростить
$$x_{4} = 2 - i$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = 2 + i$$
$$x_{4} = 2 - i$$