Господин Экзамен

Другие калькуляторы


x^4+4=0

x^4+4=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
 4        
x  + 4 = 0
$$x^{4} + 4 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} + 4 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -4 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -4$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1 - i$$
$$z_{2} = -1 + i$$
$$z_{3} = 1 - i$$
$$z_{4} = 1 + i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1 - i$$
$$x_{2} = -1 + i$$
$$x_{3} = 1 - i$$
$$x_{4} = 1 + i$$
График
Быстрый ответ [src]
x_1 = -1 - I
$$x_{1} = -1 - i$$
x_2 = -1 + I
$$x_{2} = -1 + i$$
x_3 = 1 - I
$$x_{3} = 1 - i$$
x_4 = 1 + I
$$x_{4} = 1 + i$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
-1 - I + -1 + I + 1 - I + 1 + I
$$\left(-1 - i\right) + \left(-1 + i\right) + \left(1 - i\right) + \left(1 + i\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
-1 - I * -1 + I * 1 - I * 1 + I
$$\left(-1 - i\right) * \left(-1 + i\right) * \left(1 - i\right) * \left(1 + i\right)$$
=
4
$$4$$
Численный ответ [src]
x1 = -1.0 + 1.0*i
x2 = 1.0 + 1.0*i
x3 = 1.0 - 1.0*i
x4 = -1.0 - 1.0*i
x4 = -1.0 - 1.0*i
График
x^4+4=0 уравнение