Господин Экзамен

Другие калькуляторы

х^4-81=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
 4         
x  - 81 = 0
$$x^{4} - 81 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} - 81 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 3$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = -3$$
или
$$x = 3$$
$$x = -3$$
Получим ответ: x = 3
Получим ответ: x = -3
или
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = - 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = - 3 i$$
$$x_{4} = 3 i$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
-3 + 3 + -3*I + 3*I
$$\left(-3\right) + \left(3\right) + \left(- 3 i\right) + \left(3 i\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
-3 * 3 * -3*I * 3*I
$$\left(-3\right) * \left(3\right) * \left(- 3 i\right) * \left(3 i\right)$$
=
-81
$$-81$$
Быстрый ответ [src]
x_1 = -3
$$x_{1} = -3$$
x_2 = 3
$$x_{2} = 3$$
x_3 = -3*I
$$x_{3} = - 3 i$$
x_4 = 3*I
$$x_{4} = 3 i$$
Численный ответ [src]
x1 = -3.0
x2 = 3.0*i
x3 = -3.0*i
x4 = 3.0
x4 = 3.0