х^4-81=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{4} - 81 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 3$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = -3$$
или
$$x = 3$$
$$x = -3$$
Получим ответ: x = 3
Получим ответ: x = -3
или
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = - 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = - 3 i$$
$$x_{4} = 3 i$$