Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^4-3x^2+4=0

x^4-3x^2+4=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src] 
 4      2        
x  - 3*x  + 4 = 0
$$x^{4} - 3 x^{2} + 4 = 0$$
Упростить
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x^{4} - 3 x^{2} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 3 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 4$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 4 + \left(-3\right)^{2} = -7$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
График
Построить график f1(x)
Построить график f2(x)
Быстрый ответ [src] 
                 /    /  ___\\              /    /  ___\\
                 |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||
                 |atan|-----||              |atan|-----||
          ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|
x_1 = - \/ 2 *cos|-----------| - I*\/ 2 *sin|-----------|
                 \     2     /              \     2     /
$$x_{1} = - \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
Упростить 
                 /    /  ___\\              /    /  ___\\
                 |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||
                 |atan|-----||              |atan|-----||
          ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|
x_2 = - \/ 2 *cos|-----------| + I*\/ 2 *sin|-----------|
                 \     2     /              \     2     /
$$x_{2} = - \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
Упростить 
               /    /  ___\\              /    /  ___\\
               |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||
               |atan|-----||              |atan|-----||
        ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|
x_3 = \/ 2 *cos|-----------| - I*\/ 2 *sin|-----------|
               \     2     /              \     2     /
$$x_{3} = \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
Упростить 
               /    /  ___\\              /    /  ___\\
               |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||
               |atan|-----||              |atan|-----||
        ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|
x_4 = \/ 2 *cos|-----------| + I*\/ 2 *sin|-----------|
               \     2     /              \     2     /
$$x_{4} = \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
Упростить
Сумма и произведение корней [src] 
сумма
           /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\
           |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||            |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||            |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||
           |atan|-----||              |atan|-----||              |atan|-----||              |atan|-----||            |atan|-----||              |atan|-----||            |atan|-----||              |atan|-----||
    ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|     ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|     ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|
- \/ 2 *cos|-----------| - I*\/ 2 *sin|-----------| + - \/ 2 *cos|-----------| + I*\/ 2 *sin|-----------| + \/ 2 *cos|-----------| - I*\/ 2 *sin|-----------| + \/ 2 *cos|-----------| + I*\/ 2 *sin|-----------|
           \     2     /              \     2     /              \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /
$$\left(- \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(- \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right)$$ 
=
0
$$0$$
Упростить 
произведение
           /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\
           |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||            |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||            |    |\/ 7 ||              |    |\/ 7 ||
           |atan|-----||              |atan|-----||              |atan|-----||              |atan|-----||            |atan|-----||              |atan|-----||            |atan|-----||              |atan|-----||
    ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|     ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|     ___    |    \  3  /|       ___    |    \  3  /|
- \/ 2 *cos|-----------| - I*\/ 2 *sin|-----------| * - \/ 2 *cos|-----------| + I*\/ 2 *sin|-----------| * \/ 2 *cos|-----------| - I*\/ 2 *sin|-----------| * \/ 2 *cos|-----------| + I*\/ 2 *sin|-----------|
           \     2     /              \     2     /              \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /
$$\left(- \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) * \left(- \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) * \left(\sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) * \left(\sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}\right)$$ 
=
                       /  ___\
                       |\/ 7 |
  /        ___\  I*atan|-----|
  |3   I*\/ 7 |        \  3  /
4*|- - -------|*e             
  \4      4   /
$$4 \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}\right) e^{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}$$
Упростить
Численный ответ [src] 
x1 = -1.3228756555323 + 0.5*i
x2 = 1.3228756555323 + 0.5*i
x3 = -1.3228756555323 - 0.5*i
x4 = 1.3228756555323 - 0.5*i
x4 = 1.3228756555323 - 0.5*i
График
x^4-3x^2+4=0 уравнение
    © Господин Экзамен – Калькулятор