(x+8)/(5*x+7)=(x+8)/(7*x+5) уравнение

Дано уравнение:
$$\frac{x + 8}{5 x + 7} = \frac{x + 8}{7 x + 5}$$
Домножим обе части уравнения на знаменатели:
5 + 7*x и 7 + 5*x
получим:
$$\frac{\left(x + 8\right) \left(7 x + 5\right)}{5 x + 7} = \frac{\left(x + 8\right) \left(7 x + 5\right)}{7 x + 5}$$
$$\frac{\left(x + 8\right) \left(7 x + 5\right)}{5 x + 7} = x + 8$$
$$\frac{\left(x + 8\right) \left(7 x + 5\right)}{5 x + 7} \cdot \left(5 x + 7\right) = \left(x + 8\right) \left(5 x + 7\right)$$
$$7 x^{2} + 61 x + 40 = 5 x^{2} + 47 x + 56$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$7 x^{2} + 61 x + 40 = 5 x^{2} + 47 x + 56$$
в
$$2 x^{2} + 14 x - 16 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 14$$
$$c = -16$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 2 \cdot 4 \left(-16\right) + 14^{2} = 324$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 1$$
Упростить
$$x_{2} = -8$$
Упростить