(x+3)^4+(x+5)^4=16 уравнение

Дано уравнение:
$$\left(x + 3\right)^{4} + \left(x + 5\right)^{4} = 16$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$2 \left(x + 3\right) \left(x + 5\right) \left(x^{2} + 8 x + 23\right) = 0$$
Т.к. правая часть уравнения равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части уравнения равен нулю.
Получим уравнения
$$2 x + 6 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$x^{2} + 8 x + 23 = 0$$
решаем получившиеся уравнения:
1.
$$2 x + 6 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = -6$$
Разделим обе части уравнения на 2

x = -6 / (2)

Получим ответ: x_1 = -3
2.
$$x + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x_2 = -5
3.
$$x^{2} + 8 x + 23 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = 23$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 23 + 8^{2} = -28$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$x_3 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_4 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{3} = -4 + \sqrt{7} i$$
Упростить
$$x_{4} = -4 - \sqrt{7} i$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = -4 + \sqrt{7} i$$
$$x_{4} = -4 - \sqrt{7} i$$