(x-3)^3=-512 уравнение

Дано уравнение
$$\left(x - 3\right)^{3} = -512$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{-512}$$
или
$$x - 3 = 8 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

-3 + x = -8*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 3 + 8 \sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 3 + 8*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 3$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -512$$
где
$$r = 8$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -8$$
$$z_{2} = 4 - 4 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 4 + 4 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 3$$
$$x = z + 3$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 7 - 4 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 7 + 4 \sqrt{3} i$$