Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 8х^2-3х=0
-
Уравнение (x-4)^5=243
-
Уравнение cos(x+pi/4)=-1/2
-
Уравнение (5+y)^2+y^2=25
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- 4*x+16*y=12
- 9*x-14*y=3
- Производная:
-
(x-4)^5
-
Идентичные выражения
- (x- четыре)^ пять = двести сорок три
- (x минус 4) в степени 5 равно 243
- (x минус четыре) в степени пять равно двести сорок три
- (x-4)5=243
- x-45=243
- (x-4)⁵=243
- x-4^5=243
-
Похожие выражения
- (x+4)^5=243
- x+40=24*3
(x-4)^5=243 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\left(x - 4\right)^{5} = 243$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x - 4\right)^{5}} = \sqrt[5]{243}$$
или
$$x - 4 = 3$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7$$
Получим ответ: x = 7
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 4$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 4$$
$$x = z + 4$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$\left(x - 4\right)^{5} = 243$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x - 4\right)^{5}} = \sqrt[5]{243}$$
или
$$x - 4 = 3$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7$$
Получим ответ: x = 7
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 4$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 4$$
$$x = z + 4$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
______________ ______________ ______________ ______________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5 13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5 13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 + 2*\/ 5 13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 + 2*\/ 5
7 + -- - ------- - --------------------- + -- - ------- + --------------------- + -- + ------- - --------------------- + -- + ------- + ---------------------
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(7\right) + \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right) + \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right) + \left(\frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - \frac{3 i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right) + \left(\frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + \frac{3 i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right)$$
=
20
$$20$$
произведение
______________ ______________ ______________ ______________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5 13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5 13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 + 2*\/ 5 13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 + 2*\/ 5
7 * -- - ------- - --------------------- * -- - ------- + --------------------- * -- + ------- - --------------------- * -- + ------- + ---------------------
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(7\right) * \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right) * \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right) * \left(\frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - \frac{3 i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right) * \left(\frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + \frac{3 i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right)$$
=
1267
$$1267$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 7
$$x_{1} = 7$$
______________
___ / ___
13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_2 = -- - ------- - ---------------------
4 4 4
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}$$
______________
___ / ___
13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_3 = -- - ------- + ---------------------
4 4 4
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}$$
______________
___ / ___
13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 + 2*\/ 5
x_4 = -- + ------- - ---------------------
4 4 4
$$x_{4} = \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} - \frac{3 i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}$$
______________
___ / ___
13 3*\/ 5 3*I*\/ 10 + 2*\/ 5
x_5 = -- + ------- + ---------------------
4 4 4
$$x_{5} = \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{13}{4} + \frac{3 i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 4.92705098312484 - 2.85316954888546*i
x2 = 1.57294901687516 + 1.76335575687742*i
x3 = 1.57294901687516 - 1.76335575687742*i
x4 = 4.92705098312484 + 2.85316954888546*i
x5 = 7.0
x5 = 7.0
График