Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 12/x+10=13
- Уравнение x^2-12x+20=0
- Уравнение (6x-12)(0,5x-4)=0
- Уравнение 500+(х+140)=2056
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+10*y=15
- -11*x-6*y=2
- 19*x+16*y=14
- 3*x-15*y=3
-
Идентичные выражения
- восемь *x^ три + один = ноль
- 8 умножить на x в кубе плюс 1 равно 0
- восемь умножить на x в степени три плюс один равно ноль
- 8*x3+1=0
- 8*x³+1=0
- 8*x в степени 3+1=0
- 8x^3+1=0
- 8x3+1=0
- 8*x^3+1=O
-
Похожие выражения
- 8*x^3-1=0
- 8x^3+125=0
- -8x^3+104x^2-452x+696=0
8*x^3+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$8 x^{3} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{8} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$2 x = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Разделим обе части уравнения на 2
Получим ответ: x = (-1)^(1/3)/2
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = - \frac{1}{8}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{1}{8}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$8 x^{3} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{8} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$2 x = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
2*x = -1^1/3
Разделим обе части уравнения на 2
x = (-1)^(1/3) / (2)
Получим ответ: x = (-1)^(1/3)/2
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = - \frac{1}{8}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{1}{8}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Теорема Виета
перепишем уравнение
$$8 x^{3} + 1 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{1}{8} = 0$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{8}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{8}$$
$$8 x^{3} + 1 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{1}{8} = 0$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{8}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{8}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1/2 + - - ------- + - + -------
4 4 4 4
$$\left(- \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1/2 * - - ------- * - + -------
4 4 4 4
$$\left(- \frac{1}{2}\right) * \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right) * \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$
=
-1/8
$$- \frac{1}{8}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -1/2
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x_2 = - - -------
4 4
$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
___
1 I*\/ 3
x_3 = - + -------
4 4
$$x_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.25 - 0.433012701892219*i
x2 = -0.5
x3 = 0.25 + 0.433012701892219*i
x3 = 0.25 + 0.433012701892219*i
График