|3x+1|+|2x-3|=6 уравнение

Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x + 1 \geq 0$$
или
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$\left(2 x - 3\right) + \left(3 x + 1\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$5 x - 8 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{8}{5}$$

2.
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x + 1 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x + 1 \geq 0$$
или
$$- \frac{1}{3} \leq x \wedge x < \frac{3}{2}$$
получаем уравнение
$$\left(- 2 x + 3\right) + \left(3 x + 1\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = 2$$
но x2 не удовлетворяет неравенству

4.
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x + 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{3}$$
получаем уравнение
$$\left(- 2 x + 3\right) - \left(3 x + 1\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 5 x - 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = - \frac{4}{5}$$


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{8}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{4}{5}$$