Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение cos^2(2x)=2
-
Уравнение x^2-21=4*x
-
Уравнение 2^x=64
-
Уравнение x^3+18=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
-
Идентичные выражения
- cos^ два (два x)=2
- косинус от в квадрате (2x) равно 2
- косинус от в степени два (два x) равно 2
- cos2(2x)=2
- cos22x=2
- cos²(2x)=2
- cos в степени 2(2x)=2
- cos^22x=2
-
Похожие выражения
- cos^2*2x=2
- 1-2cos^2*2x=√2/2
- cos^22x=2
cos^2(2x)=2 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} = 2$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$0^{2} - 1 \cdot 4 \left(-2\right) = 8$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = \sqrt{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \sqrt{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$2$$
получим промежуточный ответ:
$$x = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w \right)}}{2}$$
$$x = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} = 2$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$0^{2} - 1 \cdot 4 \left(-2\right) = 8$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = \sqrt{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \sqrt{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$2$$
получим промежуточный ответ:
$$x = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w \right)}}{2}$$
$$x = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \pi n + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\
re\acos\-\/ 2 // I*im\acos\-\/ 2 // I*im\acos\\/ 2 // re\acos\-\/ 2 // I*im\acos\-\/ 2 // I*im\acos\\/ 2 //
pi - ---------------- - ------------------ + pi - ----------------- + ---------------- + ------------------ + -----------------
2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) + \left(\pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) + \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) + \left(\frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right)$$
=
2*pi
$$2 \pi$$
произведение
/ / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\
re\acos\-\/ 2 // I*im\acos\-\/ 2 // I*im\acos\\/ 2 // re\acos\-\/ 2 // I*im\acos\-\/ 2 // I*im\acos\\/ 2 //
pi - ---------------- - ------------------ * pi - ----------------- * ---------------- + ------------------ * -----------------
2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) * \left(\pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) * \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) * \left(\frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right)$$
=
/ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\ / / ___\\
-I*\2*pi - I*im\acos\\/ 2 ///*\I*im\acos\-\/ 2 // + re\acos\-\/ 2 ///*\-2*pi + I*im\acos\-\/ 2 // + re\acos\-\/ 2 ///*im\acos\\/ 2 //
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
$$- \frac{i \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}\right) \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{16}$$
Быстрый ответ
[src]
/ / ___\\ / / ___\\
re\acos\-\/ 2 // I*im\acos\-\/ 2 //
x_1 = pi - ---------------- - ------------------
2 2
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$
/ / ___\\
I*im\acos\\/ 2 //
x_2 = pi - -----------------
2
$$x_{2} = \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$
/ / ___\\ / / ___\\
re\acos\-\/ 2 // I*im\acos\-\/ 2 //
x_3 = ---------------- + ------------------
2 2
$$x_{3} = \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$
/ / ___\\
I*im\acos\\/ 2 //
x_4 = -----------------
2
$$x_{4} = \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.5707963267949 + 0.440686793509772*i
x2 = 3.14159265358979 - 0.440686793509772*i
x3 = 1.5707963267949 - 0.440686793509772*i
x4 = 0.440686793509772*i
x4 = 0.440686793509772*i
График