2*(1+x^(-3))=0 уравнение

Дано уравнение
$$2 \cdot \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-2}}$$
или
$$\frac{2^{\frac{2}{3}} x}{2} = - \frac{\left(-2\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Раскрываем скобочки в левой части уравнения

x*2^2/3/2 = -(-2)^(2/3)/2

Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x*2^2/3/2 = 2^2/3/2

Разделим обе части уравнения на 2^(2/3)/2

x = -(-2)^(2/3)/2 / (2^(2/3)/2)

Получим ответ: x = -(-1)^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$