√(3x+1)-√(x+8)=1 уравнение

Дано уравнение
$$- \sqrt{x + 8} + \sqrt{3 x + 1} = 1$$
Возведём обе части уравнения в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{x + 8} + \sqrt{3 x + 1}\right)^{2} = 1$$
или
$$1^{2} \cdot \left(3 x + 1\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x + 8\right) \left(3 x + 1\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(1 x + 8\right)\right) = 1$$
или
$$4 x - 2 \sqrt{3 x^{2} + 25 x + 8} + 9 = 1$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{3 x^{2} + 25 x + 8} = - 4 x - 8$$
Возведём обе части уравнения в(о) 2-ую степень
$$12 x^{2} + 100 x + 32 = \left(- 4 x - 8\right)^{2}$$
$$12 x^{2} + 100 x + 32 = 16 x^{2} + 64 x + 64$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 4 x^{2} + 36 x - 32 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 36$$
$$c = -32$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) \left(\left(-4\right) 4\right) \left(-32\right) + 36^{2} = 784$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 1$$
Упростить
$$x_{2} = 8$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{3 x^{2} + 25 x + 8} = 2 x + 4$$
и
$$\sqrt{3 x^{2} + 25 x + 8} \geq 0$$
то
$$2 x + 4 >= 0$$
или
$$-2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 8$$
проверяем:
$$x_{1} = 1$$
$$- \sqrt{x_{1} + 8} + \sqrt{3 x_{1} + 1} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{1 + 8} + \sqrt{1 + 3 \cdot 1}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- Нет
$$x_{2} = 8$$
$$- \sqrt{x_{2} + 8} + \sqrt{3 x_{2} + 1} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{8 + 8} + \sqrt{1 + 3 \cdot 8}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = 8$$