Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^3+3*x^2-6*x-8=0
-
Уравнение 16x^2-9=0
- Уравнение 16x^4+625=0
-
Уравнение x^2+3x-8=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -3*x-2*y=12
- -7*x+2*y=-9
- -4*x-2*y=-8
- 3*x-2*y=8
-
Идентичные выражения
- 16x^ четыре + шестьсот двадцать пять = ноль
- 16x в степени 4 плюс 625 равно 0
- 16x в степени четыре плюс шестьсот двадцать пять равно ноль
- 16x4+625=0
- 16x⁴+625=0
- 16x^4+625=O
-
Похожие выражения
- 16x^4-625=0
16x^4+625=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$16 x^{4} + 625 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -625 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = - \frac{625}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{625}{16}$$
где
$$r = \frac{5}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$16 x^{4} + 625 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -625 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = - \frac{625}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{625}{16}$$
где
$$r = \frac{5}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
Быстрый ответ
[src]
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_1 = - ------- - ---------
4 4
$$x_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_2 = - ------- + ---------
4 4
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_3 = ------- - ---------
4 4
$$x_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_4 = ------- + ---------
4 4
$$x_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2
- ------- - --------- + - ------- + --------- + ------- - --------- + ------- + ---------
4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(- \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right) + \left(- \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right) + \left(\frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right) + \left(\frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2
- ------- - --------- * - ------- + --------- * ------- - --------- * ------- + ---------
4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(- \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right) * \left(- \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right) * \left(\frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right) * \left(\frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{5 \sqrt{2} i}{4}\right)$$
=
625 --- 16
$$\frac{625}{16}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.76776695296637 + 1.76776695296637*i
x2 = 1.76776695296637 + 1.76776695296637*i
x3 = -1.76776695296637 - 1.76776695296637*i
x4 = 1.76776695296637 - 1.76776695296637*i
x4 = 1.76776695296637 - 1.76776695296637*i