Дифференциальное уравнение yy'=2y-x

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - 2 y{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - 2 x u{\left(x \right)} + x = 0$$
или
$$x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x u^{2}{\left(x \right)} - 2 x u{\left(x \right)} + x = 0$$

Step

Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = \frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{u{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{u{\left(x \right)}}$$
получим
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = - \frac{dx}{x}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{u}{\left(u - 1\right)^{2}}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(u - 1 \right)} - \frac{1}{u - 1} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = 1 + \frac{e^{C_{1} + W\left(x e^{- C_{1}}\right)}}{x}$$
Подробнее про LambertW
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = x \left(1 + \frac{e^{C_{1} + W\left(x e^{- C_{1}}\right)}}{x}\right)$$