Дифференциальное уравнение y’x+y=x^2

Step

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y':
$$x$$
Получим уравнение:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{x} = x$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
где
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
и
$$Q{\left(x \right)} = x$$
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением 1го порядка:

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y' + P(x)y = 0$$
с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{1}{x}\, dx = \log{\left(x \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = \frac{C}{x}$$
Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения.

Step

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами:
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифференциальное уравнение для C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = x^{2}$$
Зн.,
$$C{\left(x \right)} = \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3} + Const$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x}$$
и получим окончательный ответ для y(x):

Answer: $$\frac{\frac{x^{3}}{3} + Const}{x}$$