Дифференциальное уравнение (y^2-3x)dx+xydy=0

Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} - 3 x = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
подставляем
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - 3 x + \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
или
$$- 3 x + \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} = 0$$

Step

Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = - \frac{3}{u{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$- \frac{3}{u{\left(x \right)}}$$
получим
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} = - x^{2}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} = - dx x^{2}$$
или
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{3} = - dx x^{2}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du = \int \left(- x^{2}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{u^{2}}{6} = - \frac{x^{3}}{3} + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{2 x^{3} + C_{1}}$$
$$u_{2} = u{\left(x \right)} = \sqrt{2 x^{3} + C_{1}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2 x^{3} + C_{1}}}{x}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2 x^{3} + C_{1}}}{x}$$