Дифференциальное уравнение y’sinx=ylny

Step

Дано уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
или
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$