Господин Экзамен

Другие калькуляторы

y'=xe^y
Дифференциальные уравнения/ y'=xe^y

Дифференциальное уравнение y'=xe^y

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
d             y(x)
--(y(x)) = x*e    
dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x e^{y{\left(x \right)}}$$ 
y' = x*exp(y)
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x e^{y{\left(x \right)}}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = x$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$e^{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$dx e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy e^{- y{\left(x \right)}} = dx x$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int e^{- y}\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- e^{- y} = \frac{x^{2}}{2} + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{x^{2} + C_{1}} \right)} + \log{\left(2 \right)}$$
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left(-{{{{d}\over{d\,g_{19164}}}\, \mathcal{L}\left(e^{y\left(x\right)} , x , g_{19164}\right)-y\left(0 \right)}\over{g_{19164}}} , g_{19164} , x\right)$$ 
y = 'ilt(-('diff('laplace(E^y,x,g19164),g19164,1)-y(0))/g19164,g19164,x)
Ответ [src] 
                   /  -1   \
y(x) = log(2) + log|-------|
                   |      2|
                   \C1 + x /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{x^{2} + C_{1}} \right)} + \log{\left(2 \right)}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
1st power series
lie group
separable
separable Integral
Численный ответ [src] 
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -3.0069419514001106)
(-5.555555555555555, -3.556498033546488)
(-3.333333333333333, -3.8048122791894863)
(-1.1111111111111107, -3.9091206183329263)
(1.1111111111111107, -3.909120634470935)
(3.333333333333334, -3.804812198325574)
(5.555555555555557, -3.5564977023837163)
(7.777777777777779, -3.0069409112676597)
(10.0, 0.7500602461366156)
(10.0, 0.7500602461366156)
График
Дифференциальное уравнение y'=xe^y
    © Господин Экзамен – Калькулятор