Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальное уравнение y'=ky^3

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до

Решение

Вы ввели [src]
d             3   
--(y(x)) = k*y (x)
dx                
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = k y^{3}{\left(x \right)}$$
y' = k*y^3
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = k y^{3}{\left(x \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = k$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$y^{3}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = k$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = dx k$$
или
$$\frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = dx k$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = \int k\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{2 y^{2}} = k x + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{k x + C_{1}}}}{2}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{k x + C_{1}}}}{2}$$
Ответ [src]
                  __________ 
          ___    /   -1      
       -\/ 2 *  /  --------  
              \/   C1 + k*x  
y(x) = ----------------------
                 2           
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{k x + C_{1}}}}{2}$$
                 __________
         ___    /   -1     
       \/ 2 *  /  -------- 
             \/   C1 + k*x 
y(x) = --------------------
                2          
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{k x + C_{1}}}}{2}$$
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left({{k\,\mathcal{L}\left(y\left(x \right)^3 , x , g_{19164}\right)+y\left(0\right)}\over{g_{19164}}} , g_{19164} , x\right)$$
y = 'ilt((k*'laplace(y^3,x,g19164)+y(0))/g19164,g19164,x)
Классификация
1st exact
1st exact Integral
1st power series
Bernoulli
Bernoulli Integral
lie group
separable
separable Integral