Step
Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = k y^{3}{\left(x \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = k$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$y^{3}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = k$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Step
Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = dx k$$
или
$$\frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = dx k$$
Step
Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = \int k\, dx$$
Подробное решение интеграла с yПодробное решение интеграла с xВозьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{2 y^{2}} = k x + Const$$
Подробное решение простого уравненияМы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{k x + C_{1}}}}{2}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{k x + C_{1}}}}{2}$$