Господин Экзамен
Дифференциальное уравнение y``+y`=5x+2e^x
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d x
--(y(x)) + ---(y(x)) = 2*e + 5*x
dx 2
dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x + 2 e^{x}$$
y' + y'' = 5*x + 2*exp(x)
Подробное решение
Step
Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x + 2 e^{x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = 1$$
$$q = 0$$
$$s = - 5 x - 2 e^{x}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.
Step
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + k = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 0$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} + C_{1} e^{- x}$$
Step
Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.
И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{- x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = 1$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = 5 x + 2 e^{x}$$
Значит, система примет вид:
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = 5 x + 2 e^{x}$$
или
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$- e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 5 x + 2 e^{x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - 5 x e^{x} - 2 e^{2 x}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 5 x + 2 e^{x}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 5 x e^{x} - 2 e^{2 x}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(5 x + 2 e^{x}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = - \left(5 x - 5\right) e^{x} - e^{2 x} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = \frac{5 x^{2}}{2} + C_{4} + 2 e^{x}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Получаем окончательный ответ:
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ
[src]
2
5*x -x x
y(x) = C1 - 5*x + ---- + C2*e + e
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{5 x^{2}}{2} + C_{1} - 5 x + e^{x} + C_{2} e^{- x}$$
Ответ (#2)
[src]
$$y\left(x\right)=\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0
}+e^ {- x }\,\left(-\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{
x=0}-4\right)+e^{x}+{{5\,x^2}\over{2}}-5\,x+y\left(0\right)+3$$
y = 'at('diff(y,x,1),x = 0)+E^-x*((-'at('diff(y,x,1),x = 0))-4)+E^x+(5*x^2)/2-5*x+y(0)+3
Классификация
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
nth order reducible