Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y’’+5y’+4y=0

Дифференциальное уравнение y’’+5y’+4y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                        2          
           d           d           
4*y(x) + 5*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
           dx           2          
                      dx
$$4 y{\left(x \right)} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
4*y + 5*y' + y'' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$4 y{\left(x \right)} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = 5$$
$$q = 4$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 5 k + 4 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = -4$$
$$k_{2} = -1$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{2} e^{- x} + C_{1} e^{- 4 x}$$
Ответ [src] 
       /         -3*x\  -x
y(x) = \C1 + C2*e    /*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} e^{- 3 x}\right) e^{- x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={{e^ {- x }\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x \right)\right|_{x=0}+4\,y\left(0\right)\right)}\over{3}}-{{e^ {- 4\, x }\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}+y \left(0\right)\right)}\over{3}}$$ 
y = (E^-x*('at('diff(y,x,1),x = 0)+4*y(0)))/3-(E^-(4*x)*('at('diff(y,x,1),x = 0)+y(0)))/3
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор