Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y′′+4y′+5y=0

Дифференциальное уравнение y′′+4y′+5y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                        2          
  d                    d           
4*--(y(x)) + 5*y(x) + ---(y(x)) = 0
  dx                    2          
                      dx
$$5 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
5*y + 4*y' + y'' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$5 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = 4$$
$$q = 5$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 4 k + 5 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = -2 - i$$
$$k_{2} = -2 + i$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-2 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(-2 + i\right)}$$
Ответ [src] 
                                -2*x
y(x) = (C1*sin(x) + C2*cos(x))*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=e^ {- 2\,x }\,\left({{\sin x\,\left(2\,\left(\left. {{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}+4\,y\left(0\right) \right)-4\,y\left(0\right)\right)}\over{2}}+y\left(0\right)\,\cos x \right)$$ 
y = E^-(2*x)*((sin(x)*(2*('at('diff(y,x,1),x = 0)+4*y(0))-4*y(0)))/2+y(0)*cos(x))
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор