Господин Экзамен
Дифференциальное уравнение y"-4y'=2
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d
- 4*--(y(x)) + ---(y(x)) = 2
dx 2
dx
$$- 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2$$
-4*y' + y'' = 2
Подробное решение
Step
Дано уравнение:
$$- 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = -4$$
$$q = 0$$
$$s = -2$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.
Step
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 4 k = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = 4$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} e^{4 x} + C_{1}$$
Step
Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.
И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} e^{4 x} + C_{1}{\left(x \right)}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = 1$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = e^{4 x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = 2$$
Значит, система примет вид:
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{4 x} = 2$$
или
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$4 e^{4 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 2$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \frac{e^{- 4 x}}{2}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{2}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x}{2}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} e^{4 x} + C_{1}{\left(x \right)}$$
Получаем окончательный ответ:
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ
[src]
x 4*x
y(x) = C1 - - + C2*e
2
$$y{\left(x \right)} = C_{2} e^{4 x} + C_{1} - \frac{x}{2}$$
Ответ (#2)
[src]
$$y\left(x\right)=-{{2\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)
\right|_{x=0}\right)-8\,y\left(0\right)+1}\over{8}}+{{e^{4\,x}\,
\left(2\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}
\right)+1\right)}\over{8}}-{{x}\over{2}}$$
y = (-(2*('at('diff(y,x,1),x = 0))-8*y(0)+1)/8)+(E^(4*x)*(2*('at('diff(y,x,1),x = 0))+1))/8-x/2
Классификация
factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
nth order reducible