Господин Экзамен
Дифференциальное уравнение y''-4y'+4y=e^(2x)*sqrt(1+x)
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d _______ 2*x
- 4*--(y(x)) + 4*y(x) + ---(y(x)) = \/ 1 + x *e
dx 2
dx
$$4 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1} e^{2 x}$$
4*y - 4*y' + y'' = sqrt(x + 1)*exp(2*x)
Подробное решение
Step
Дано уравнение:
$$4 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1} e^{2 x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = -4$$
$$q = 4$$
$$s = - \sqrt{x + 1} e^{2 x}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.
Step
Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 4 k + 4 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 2$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 2$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{2 x} + C_{1} e^{2 x}$$
Step
Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.
И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{2 x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = x e^{2 x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1} e^{2 x}$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = \sqrt{x + 1} e^{2 x}$$
или
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x}\right) \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1} e^{2 x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - x \sqrt{x + 1}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \sqrt{x + 1}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \sqrt{x + 1}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = - \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{4}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ (#2)
[src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left({{\left(2\,e^2\,\sqrt{g_{19164}-2}\,
g_{19164}-4\,e^2\,\sqrt{g_{19164}-2}\right)\,\left(\left.{{d}\over{d
\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}\right)+\left(\sqrt{\pi}-\sqrt{
\pi}\,\mathrm{erf}\left(\sqrt{g_{19164}-2}\right)\right)\,e^{
g_{19164}}+2\,e^2\,y\left(0\right)\,\sqrt{g_{19164}-2}\,g_{19164}^2-
12\,e^2\,y\left(0\right)\,\sqrt{g_{19164}-2}\,g_{19164}+\left(16\,e^
2\,y\left(0\right)+2\,e^2\right)\,\sqrt{g_{19164}-2}}\over{2\,e^2\,
\sqrt{g_{19164}-2}\,g_{19164}^3-12\,e^2\,\sqrt{g_{19164}-2}\,
g_{19164}^2+24\,e^2\,\sqrt{g_{19164}-2}\,g_{19164}-16\,e^2\,\sqrt{
g_{19164}-2}}} , g_{19164} , x\right)$$
y = 'ilt(((2*E^2*sqrt(g19164-2)*g19164-4*E^2*sqrt(g19164-2))*(?at('diff(y,x,1),x = 0))+(sqrt(pi)-sqrt(pi)*erf(sqrt(g19164-2)))*E^g19164+2*E^2*y(0)*sqrt(g19164-2)*g19164^2-12*E^2*y(0)*sqrt(g19164-2)*g19164+(16*E^2*y(0)+2*E^2)*sqrt(g19164-2))/(2*E^2*sqrt(g19164-2)*g19164^3-12*E^2*sqrt(g19164-2)*g19164^2+24*E^2*sqrt(g19164-2)*g19164-16*E^2*sqrt(g19164-2)),g19164,x)
Ответ
[src]
/ _______ / _______ 3/2 _______\\
| 4*\/ 1 + x | 2*\/ 1 + x 2*(1 + x) 2*x*\/ 1 + x || 2*x
y(x) = |C1 + ----------- + x*|C2 - ----------- + ------------ - -------------||*e
\ 15 \ 15 3 5 //
$$y{\left(x \right)} = \left(x \left(\frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 x \sqrt{x + 1}}{5} + C_{2} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{15}\right) + C_{1} + \frac{4 \sqrt{x + 1}}{15}\right) e^{2 x}$$
Классификация
factorable
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral