Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y''-4y'+4y=2e^(2x)

Дифференциальное уравнение y''-4y'+4y=2e^(2x)

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                          2               
    d                    d             2*x
- 4*--(y(x)) + 4*y(x) + ---(y(x)) = 2*e   
    dx                    2               
                        dx
$$4 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 e^{2 x}$$ 
4*y - 4*y' + y'' = 2*exp(2*x)
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$4 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 e^{2 x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = -4$$
$$q = 4$$
$$s = - 2 e^{2 x}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 4 k + 4 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 2$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 2$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{2 x} + C_{1} e^{2 x}$$

Step


Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{2 x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = x e^{2 x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = 2 e^{2 x}$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = 2 e^{2 x}$$
или
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x}\right) \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 2 e^{2 x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - 2 x$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 2$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 2 x\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int 2\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = - x^{2} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + 2 x$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} + C_{3} e^{2 x}$$
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ [src] 
                          2*x
y(x) = (C1 + x*(C2 + x))*e
$$y{\left(x \right)} = \left(x \left(C_{2} + x\right) + C_{1}\right) e^{2 x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={{x\,e^{2\,x}\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y \left(x\right)\right|_{x=0}-2\,y\left(0\right)\right)}\over{2}}+{{x \,e^{2\,x}\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x= 0}\right)}\over{2}}+x^2\,e^{2\,x}-y\left(0\right)\,x\,e^{2\,x}+y \left(0\right)\,e^{2\,x}$$ 
y = (x*E^(2*x)*('at('diff(y,x,1),x = 0)-2*y(0)))/2+(x*E^(2*x)*('at('diff(y,x,1),x = 0)))/2+x^2*E^(2*x)-y(0)*x*E^(2*x)+y(0)*E^(2*x)
Классификация
factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
    © Господин Экзамен – Калькулятор