Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y''-2y'+y=4e^x

Дифференциальное уравнение y''-2y'+y=4e^x

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                 2                    
    d           d                    x
- 2*--(y(x)) + ---(y(x)) + y(x) = 4*e 
    dx           2                    
               dx
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 e^{x}$$ 
y - 2*y' + y'' = 4*exp(x)
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 e^{x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = -2$$
$$q = 1$$
$$s = - 4 e^{x}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 2 k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 1$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 1$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{x} + C_{1} e^{x}$$

Step


Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = x e^{x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = 4 e^{x}$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = 4 e^{x}$$
или
$$x e^{x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(x e^{x} + e^{x}\right) \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 4 e^{x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - 4 x$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 4$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 4 x\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int 4\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + 4 x$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{x}$$
Получаем окончательный ответ:
Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} x e^{x} + 2 x^{2} e^{x} + C_{3} e^{x}$$
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ [src] 
                            x
y(x) = (C1 + x*(C2 + 2*x))*e
$$y{\left(x \right)} = \left(x \left(C_{2} + 2 x\right) + C_{1}\right) e^{x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={{x\,e^{x}\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x \right)\right|_{x=0}-y\left(0\right)\right)}\over{2}}+{{x\,e^{x}\, \left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}\right) }\over{2}}+2\,x^2\,e^{x}-{{y\left(0\right)\,x\,e^{x}}\over{2}}+y \left(0\right)\,e^{x}$$ 
y = (x*E^x*('at('diff(y,x,1),x = 0)-y(0)))/2+(x*E^x*('at('diff(y,x,1),x = 0)))/2+2*x^2*E^x-(y(0)*x*E^x)/2+y(0)*E^x
Классификация
factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
    © Господин Экзамен – Калькулятор