Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y``−6y`+9y=e3x(3x−1)

Вы ввели:

y``−6y`+9y=e3x(3x−1)

Что Вы имели ввиду?

9*y - 6*y' + y'' = e^3*x*(3*x - 1)

Дифференциальное уравнение y``−6y`+9y=e3x(3x−1)

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                          2                        
    d                    d                         
- 6*--(y(x)) + 9*y(x) + ---(y(x)) = e3*x*(-1 + 3*x)
    dx                    2                        
                        dx
$$9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e_{3} x \left(3 x - 1\right)$$ 
9*y - 6*y' + y'' = e3*x*(3*x - 1)
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e_{3} x \left(3 x - 1\right)$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = -6$$
$$q = 9$$
$$s = - e_{3} x \left(3 x - 1\right)$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 6 k + 9 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 3$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 3$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{3 x} + C_{1} e^{3 x}$$

Step


Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{3 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{3 x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = x e^{3 x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = e_{3} x \left(3 x - 1\right)$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{3 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{3 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{3 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{3 x} = e_{3} x \left(3 x - 1\right)$$
или
$$x e^{3 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{3 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$3 e^{3 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \left(3 x e^{3 x} + e^{3 x}\right) \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = e_{3} x \left(3 x - 1\right)$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - 3 e_{3} x^{3} e^{- 3 x} + e_{3} x^{2} e^{- 3 x}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 3 e_{3} x^{2} e^{- 3 x} - e_{3} x e^{- 3 x}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 3 e_{3} x^{3} e^{- 3 x} + e_{3} x^{2} e^{- 3 x}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(3 e_{3} x^{2} e^{- 3 x} - e_{3} x e^{- 3 x}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{e_{3} \cdot \left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{27} + \frac{e_{3} \cdot \left(9 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{9}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e_{3} \cdot \left(3 x + 1\right) e^{- 3 x}}{9} - \frac{e_{3} \cdot \left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{9}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{3 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
Получаем окончательный ответ:
Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} x e^{3 x} + C_{3} e^{3 x} + \frac{e_{3} x^{2}}{3} + \frac{e_{3} x}{3} + \frac{4 e_{3}}{27}$$
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=x\,e^{3\,x}\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x \right)\right|_{x=0}\right)+{{e_{3}\,x\,e^{3\,x}}\over{9}}-3\,y \left(0\right)\,x\,e^{3\,x}-{{\left(4\,e_{3}-27\,y\left(0\right) \right)\,e^{3\,x}}\over{27}}+{{e_{3}\,x^2}\over{3}}+{{e_{3}\,x }\over{3}}+{{4\,e_{3}}\over{27}}$$ 
y = x*E^(3*x)*('at('diff(y,x,1),x = 0))+(e3*x*E^(3*x))/9-3*y(0)*x*E^(3*x)-((4*e3-27*y(0))*E^(3*x))/27+(e3*x^2)/3+(e3*x)/3+(4*e3)/27
Ответ [src] 
                                            2
       4*e3                3*x   e3*x   e3*x 
y(x) = ---- + (C1 + C2*x)*e    + ---- + -----
        27                        3       3
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{2} x + C_{1}\right) e^{3 x} + \frac{e_{3} x^{2}}{3} + \frac{e_{3} x}{3} + \frac{4 e_{3}}{27}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Классификация
factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
    © Господин Экзамен – Калькулятор