Господин Экзамен

Другие калькуляторы


xyy’=1-x^2

Дифференциальное уравнение xyy’=1-x^2

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до

Решение

Вы ввели [src]
  d                    2
x*--(y(x))*y(x) = 1 - x 
  dx                    
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{2} + 1$$
x*y*y' = 1 - x^2
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{2} + 1$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = - \frac{x^{2}}{2} + Const + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- x^{2} + C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
Ответ (#2) [src]
$${\it \%a}$$
a
Ответ [src]
           ____________________
          /       2            
y(x) = -\/  C1 - x  + 2*log(x) 
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{- x^{2} + C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
          ____________________
         /       2            
y(x) = \/  C1 - x  + 2*log(x) 
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
Bernoulli
Bernoulli Integral
factorable
lie group
separable
separable Integral
Численный ответ [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 6.2901547121690315)
(-5.555555555555555, 8.277845941334105)
(-3.333333333333333, 9.340994054797356)
(-1.1111111111111107, 9.743380695632029)
(1.1111111111111107, 0.40927251619122734)
(3.333333333333334, 0.0)
(5.555555555555557, 0.0)
(7.777777777777779, 0.0)
(10.0, 0.0)
(10.0, 0.0)
График
Дифференциальное уравнение xyy’=1-x^2