Дифференциальное уравнение xy′′+y′=0

Step

Дано уравнение:
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y')\ y'' = f_2(x)\ g_2(y')$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y' \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y')}{g_2(y')}\ y''= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y'.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y',
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y'
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y'.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y'}_{1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x}$$
возьмём эти интегралы
$$y_{1} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1}}{x}\, dx$$
Подробное решение интеграла
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = C_{1} \log{\left(x \right)} + C_{2}$$