Господин Экзамен

Другие калькуляторы

xdy+ydx+xydy=0
Дифференциальные уравнения/ xdy+ydx+xydy=0

Дифференциальное уравнение xdy+ydx+xydy=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
  d            d                       
x*--(y(x)) + x*--(y(x))*y(x) + y(x) = 0
  dx           dx
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$ 
x*y*y' + x*y' + y = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
получим
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$y + \log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
Подробнее про LambertW
Ответ (#2) [src]
$${\it ilt}\left({{d}\over{d\,g_{19164}}}\,\mathcal{L}\left(y\left(x \right) , x , g_{19164}\right) , g_{19164} , x\right)={\it ilt} \left(-{{{{d}\over{d\,g_{19164}}}\,\mathcal{L}\left(y\left(x\right) \,\left({{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right) , x , g_{19164} \right)}\over{g_{19164}}} , g_{19164} , x\right)$$ 
'ilt('diff('laplace(y,x,g19164),g19164,1),g19164,x) = 'ilt(-'diff('laplace(y*'diff(y,x,1),x,g19164),g19164,1)/g19164,g19164,x)
Ответ [src] 
        /C1\
y(x) = W|--|
        \x /
$$y{\left(x \right)} = W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
factorable
lie group
separable
separable Integral
separable reduced
separable reduced Integral
Численный ответ [src] 
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8620613250559968)
(-5.555555555555555, 1.0252086893119274)
(-3.333333333333333, 1.2991899355961178)
(-1.1111111111111107, 1.977639893516864)
(1.1111111111111107, 34.86933155849251)
(3.333333333333334, 0.0)
(5.555555555555557, 0.0)
(7.777777777777779, 0.0)
(10.0, 0.0)
(10.0, 0.0)
График
Дифференциальное уравнение xdy+ydx+xydy=0
    © Господин Экзамен – Калькулятор