Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^2dx+(y-1)dy=0
Дифференциальные уравнения/ x^2dx+(y-1)dy=0

Дифференциальное уравнение x^2dx+(y-1)dy=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
 2   d          d                
x  - --(y(x)) + --(y(x))*y(x) = 0
     dx         dx
$$x^{2} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$ 
x^2 + y*y' - y' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$x^{2} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} - 1}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} - 1}$$
получим
$$\left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{2}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$dx \left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x^{2}$$
или
$$dy \left(y{\left(x \right)} - 1\right) = - dx x^{2}$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(y - 1\right)\, dy = \int \left(- x^{2}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} - y = - \frac{x^{3}}{3} + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{- 6 x^{3} + C_{1}}}{3} + 1$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{- 6 x^{3} + C_{1}}}{3} + 1$$
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left({{g_{19164}^3\,\mathcal{L}\left(y \left(x\right)\,\left({{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right) , x , g_{19164}\right)+y\left(0\right)\,g_{19164}^3+2}\over{g_{19164}^4 }} , g_{19164} , x\right)$$ 
y = 'ilt((g19164^3*'laplace(y*'diff(y,x,1),x,g19164)+y(0)*g19164^3+2)/g19164^4,g19164,x)
Ответ [src] 
              ___________
             /         3 
           \/  C1 - 6*x  
y(x) = 1 - --------------
                 3
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{- 6 x^{3} + C_{1}}}{3} + 1$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1 
              ___________
             /         3 
           \/  C1 - 6*x  
y(x) = 1 + --------------
                 3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{- 6 x^{3} + C_{1}}}{3} + 1$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
1st power series
factorable
lie group
separable
separable Integral
Численный ответ [src] 
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.0000000059265644)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)
График
Дифференциальное уравнение x^2dx+(y-1)dy=0
    © Господин Экзамен – Калькулятор