Дифференциальное уравнение (x+1)y’+xy=0

Step

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y':
$$x + 1$$
Получим уравнение:
$$\frac{x y{\left(x \right)} + \left(x + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x + 1} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = 0$$,
где
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{x + 1}$$
и
и называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1го порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{x + 1}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{x}{x + 1}\, dx = x - \log{\left(x + 1 \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = \left(x + 1\right) e^{C_{1} - x}$$
$$y_{2} = - \left(x + 1\right) e^{C_{2} - x}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C \left(x + 1\right) e^{- x}$$