Дифференциальное уравнение (x+4)dy-xydx=0

Step

Дано уравнение:
$$- x y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{x}{x + 4}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{x}{x + 4}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x + 4}$$
или
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x + 4}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{x}{x + 4}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y \right)} = Const + x - 4 \log{\left(x + 4 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{x}}{x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256}$$