Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- Система дифференциальных уравнений по шагам
- Интеграл по шагам
- Неравенства по шагам
- Системы уравнений по шагам
-
Как пользоваться?
- Дифференциальное уравнение:
- Уравнение yy′+x=0
- Уравнение y''=1/(cosx)^2
- Уравнение y'-ye^x=2xe^e^x
- Уравнение y'=y*cosx
-
Идентичные выражения
- (x-y)ydx-x^2dy
- (x минус y)ydx минус x в квадрате dy
- (x-y)ydx-x2dy
- x-yydx-x2dy
- (x-y)ydx-x²dy
- (x-y)ydx-x в степени 2dy
- x-yydx-x^2dy
-
Похожие выражения
- (x-y)ydx+x^2dy
- (x+y)ydx-x^2dy
Дифференциальное уравнение (x-y)ydx-x^2dy
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
2 2 d
- y (x) + x*y(x) - x *--(y(x)) = 0
dx
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
-x^2*y' + x*y - y^2 = 0
Подробное решение
Дано уравнение:
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} u{\left(x \right)} - x^{2} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
или
$$- x^{3} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} u^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.
Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{u} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{x}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} u{\left(x \right)} - x^{2} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
или
$$- x^{3} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} u^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Step
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.
Step
Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Step
Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{u} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{x}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$
Ответ
[src]
x
y(x) = -----------
C1 + log(x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{x}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}$$
Ответ (#2)
[src]
$${\it ilt}\left({{d^2}\over{d\,g_{19164}^2}}\,\mathcal{L}\left(y
\left(x\right) , x , g_{19164}\right) , g_{19164} , x\right)=
{\it ilt}\left(-{{3\,\left({{d}\over{d\,g_{19164}}}\,\mathcal{L}
\left(y\left(x\right) , x , g_{19164}\right)\right)+\mathcal{L}
\left(y\left(x\right)^2 , x , g_{19164}\right)}\over{g_{19164}}} ,
g_{19164} , x\right)$$
'ilt('diff('laplace(y,x,g19164),g19164,2),g19164,x) = 'ilt(-(3*'diff('laplace(y,x,g19164),g19164,1)+'laplace(y^2,x,g19164))/g19164,g19164,x)
График для задачи Коши
Классификация
1st homogeneous coeff best
1st homogeneous coeff subs dep div indep
1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral
1st homogeneous coeff subs indep div dep
1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral
1st rational riccati
Bernoulli
Bernoulli Integral
factorable
lie group
Численный ответ
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.5725417562592864)
(-5.555555555555555, 0.3990739425632698)
(-3.333333333333333, 0.23096917444773912)
(-1.1111111111111107, 0.07154363239266501)
(1.1111111111111107, -0.05903535604872896)
(3.333333333333334, -0.18808478243769292)
(5.555555555555557, -0.3227782721493083)
(7.777777777777779, -0.46089974944574735)
(10.0, -0.6015439122647315)
(10.0, -0.6015439122647315)
График