Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ у’’+2у’+у=0

Дифференциальное уравнение у’’+2у’+у=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
               2                 
  d           d                  
2*--(y(x)) + ---(y(x)) + y(x) = 0
  dx           2                 
             dx
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
y + 2*y' + y'' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = 2$$
$$q = 1$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 2 k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = -1$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = -1$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{- x} + C_{1} e^{- x}$$
Ответ [src] 
                    -x
y(x) = (C1 + C2*x)*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{2} x + C_{1}\right) e^{- x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=x\,e^ {- x }\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left( x\right)\right|_{x=0}\right)+y\left(0\right)\,x\,e^ {- x }+y\left(0 \right)\,e^ {- x }$$ 
y = x*E^-x*('at('diff(y,x,1),x = 0))+y(0)*x*E^-x+y(0)*E^-x
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор