Дифференциальное уравнение tdx-dx+xdt=0

Step

Дано уравнение:
$$t \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(x)\ x' = f_2(x)\ g_2(x)$$
где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t - 1}$$
$$g_{2}{\left(x \right)} = x{\left(t \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(x)}{g_2(x)}\ x'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(x{\left(t \right)} \right)}$
$$x{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x{\left(t \right)}} = - \frac{1}{t - 1}$$
Этим самым мы разделили переменные t и x.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dt, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x{\left(t \right)}} = - \frac{dt}{t - 1}$$
или
$$\frac{dx}{x{\left(t \right)}} = - \frac{dt}{t - 1}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по x,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{x}\, dx = \int \left(- \frac{1}{t - 1}\right)\, dt$$
Подробное решение интеграла с x
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(x \right)} = Const - \log{\left(t - 1 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной x.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$x_{1} = x{\left(t \right)} = \frac{C_{1}}{t - 1}$$