Дифференциальное уравнение t+dx*x/dt=1

Step

Дано уравнение:
$$x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + t = 1$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(x)\ x' = f_2(x)\ g_2(x)$$
где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = - t + 1$$
$$g_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{x{\left(t \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(x)}{g_2(x)}\ x'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(x{\left(t \right)} \right)}$
$$\frac{1}{x{\left(t \right)}}$$
получим
$$x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - t + 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и x.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dt, тогда уравнение будет таким
$$dt x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = dt \left(- t + 1\right)$$
или
$$dx x{\left(t \right)} = dt \left(- t + 1\right)$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по x,
- от правой части интеграл по t.
$$\int x\, dx = \int \left(- t + 1\right)\, dt$$
Подробное решение интеграла с x
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$\frac{x^{2}}{2} = - \frac{t^{2}}{2} + Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной x.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$x_{1} = x{\left(t \right)} = - \sqrt{- t^{2} + C_{1} + 2 t}$$
$$x_{2} = x{\left(t \right)} = \sqrt{- t^{2} + C_{1} + 2 t}$$