Дифференциальное уравнение (1+y^2)dx-√xdy=0

Step

Дано уравнение:
$$- \sqrt{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy = \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const + 2 \sqrt{x}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + 2 \sqrt{x} \right)}$$