Дифференциальное уравнение 1+(1+y’)*e^y

Step

Дано уравнение:
$$\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1\right) e^{y{\left(x \right)}} + 1 = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = -1$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \left(e^{y{\left(x \right)}} + 1\right) e^{- y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\left(e^{y{\left(x \right)}} + 1\right) e^{- y{\left(x \right)}}$$
получим
$$\frac{e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = -1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
или
$$\frac{dy e^{y{\left(x \right)}}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{e^{y}}{e^{y} + 1}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(e^{y} + 1 \right)} = Const - x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} e^{- x} - 1 \right)}$$