Дифференциальное уравнение dy/y=dx/x^2

Step

Дано уравнение:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x^{2}}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- y{\left(x \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
или
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(y \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{1}{x}}$$