Господин Экзамен

Другие калькуляторы

dy/2x-dx/y=0
Дифференциальные уравнения/ dy/2x-dx/y=0

Дифференциальное уравнение dy/2x-dx/y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
           d           
         x*--(y(x))    
   1       dx          
- ---- + ---------- = 0
  y(x)       2
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{y{\left(x \right)}} = 0$$ 
x*y'/2 - 1/y = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{y{\left(x \right)}} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{2}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- \frac{2}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{dx}{x}$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{y}{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{y^{2}}{4} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 4 \log{\left(x \right)}}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 4 \log{\left(x \right)}}$$
Ответ [src] 
          _______________
y(x) = -\/ C1 + 4*log(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 4 \log{\left(x \right)}}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1 
         _______________
y(x) = \/ C1 + 4*log(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 4 \log{\left(x \right)}}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left(-g_{19164}\,\left({{d}\over{d\, g_{19164}}}\,\mathcal{L}\left(y\left(x\right) , x , g_{19164}\right) \right) , g_{19164} , x\right)+{\it ilt}\left(-2\,\mathcal{L}\left( {{1}\over{y\left(x\right)}} , x , g_{19164}\right) , g_{19164} , x \right)$$ 
y = 'ilt(-g19164*'diff('laplace(y,x,g19164),g19164,1),g19164,x)+'ilt(-2*'laplace(1/y,x,g19164),g19164,x)
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
Bernoulli
Bernoulli Integral
factorable
lie group
separable
separable Integral
separable reduced
separable reduced Integral
Численный ответ [src] 
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -2.0893145516399285e-09)
(-5.555555555555555, 0.0)
(-3.333333333333333, 0.0)
(-1.1111111111111107, 0.0)
(1.1111111111111107, 0.0)
(3.333333333333334, 0.0)
(5.555555555555557, 0.0)
(7.777777777777779, 0.0)
(10.0, 0.0)
(10.0, 0.0)
График
Дифференциальное уравнение dy/2x-dx/y=0
    © Господин Экзамен – Калькулятор