Дифференциальное уравнение dx/(x+1)-ydy=0

Step

Дано уравнение:
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x + 1}$$
или
$$- dy y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x + 1}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x + 1 \right)}}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x + 1 \right)}}$$