Дифференциальное уравнение dx/dt=-kx+t

Step

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - k x{\left(t \right)} + t$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
где
$$P{\left(t \right)} = k$$
и
$$Q{\left(t \right)} = t$$
и называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1го порядка:

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y' + P(x)y = 0$$
с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(t \right)} = k$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int k\, dt = k t + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = e^{- k t + C_{1}}$$
$$y_{2} = - e^{- k t + C_{2}}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C e^{- k t}$$
Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения.

Step

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = C{\left(t \right)} e^{- k t}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами:
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифференциальное уравнение для C(x):
$$\frac{d}{d t} C{\left(t \right)} = t e^{k t}$$
Зн.,
$$C{\left(t \right)} = \int t e^{k t}\, dt = Const + \frac{\left(k t - 1\right) e^{k t}}{k^{2}}$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = C{\left(t \right)} e^{- k t}$$
и получим окончательный ответ для y(x):

Answer: $$e^{- k t} \left(Const + \frac{\left(k t - 1\right) e^{k t}}{k^{2}}\right)$$